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Newton e Infinite Series -

El cálculo de Isaac Newton en realidad comenzó en 1665 con su descubrimiento de la serie binomial general (1 + x ) n = 1 + n x + n ( n - 1) / 2.x 2 + n ( norte - 1) ( norte - 2) / 3!x 3 + ⋯ para valores racionales arbitrarios de n . Con esta fórmula pudo encontrar series infinitas para muchas funciones algebraicas (funciones y de x que satisfacen una ecuación polinomial p ( x , y) = 0). Por ejemplo, (1 + x ) −1 = 1 - x + x 2 - x 3 + x 4 - x 5 + ⋯ y 1 / Raíz cuadrada de √ (1 - x 2) = (1 + (- x 2) ) -1/2 = 1 + 1/ 2x 2 + 1 ∙ 3/ 2 ∙ 4x 4+ 1 ∙ 3 ∙ 5/ 2 ∙ 4 ∙ 6x 6 + ⋯.

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A su vez, esto llevó a Newton a series infinitas para integrales de funciones algebraicas. Por ejemplo, se obtiene el logaritmo mediante la integración de las potencias de x en la serie para (1 + x ) -1 uno por uno, log (1 + x ) = x - x 2/ 2 + x 3/ 3 - x 4 / 4 + x 5/ 5 - x 6/ 6 + ⋯, y la serie de seno inverso mediante la integración de la serie para 1 root / Square de √ (1 - x 2), sin-1 ( x ) = x + 1/ 2x 3/ 3 + 1 ∙ 3/ 2 ∙ 4x 5/ 5 + 1 ∙ 3 ∙ 5/ 2 ∙ 4 ∙ 6x 7/ 7 + ⋯.

Finalmente, Newton coronó esta actuación virtuosa al calcular la serie inversa para x como una serie en potencias de y = log ( x ) e y = sin − 1 ( x ), respectivamente, ¡encontrando la serie exponencial x = 1 + y / 1! + Y 2/ 2! + Y 3/ 3! + Y 4/ 4! + ⋯ y la serie de senos x = y - y 3/ 3! + Y 5/ 5! - y 7 /7! + ⋯.

Tenga en cuenta que la única diferenciación e integración que necesitaba Newton eran las potencias de x , y el trabajo real implicó el cálculo algebraico con series infinitas. De hecho, Newton vio el cálculo como el análogo algebraico de la aritmética con infinitos decimales, y escribió en su Tractatus de Methodis Serierum et Fluxionum (1671; "Tratado sobre el método de series y fluxiones"):

Me asombra que a nadie se le haya ocurrido (salvo N. Mercator y su cuadratura de la hipérbola) ajustar la doctrina recientemente establecida para los números decimales a las variables, sobre todo porque el camino está abierto a consecuencias más llamativas. Dado que esta doctrina en especies tiene la misma relación con el álgebra que la doctrina de los números decimales con la aritmética común, sus operaciones de suma, resta, multiplicación, división y extracción de raíces se pueden aprender fácilmente de esta última.

Para Newton, tales cálculos eran el epítome del cálculo. Se pueden encontrar en su De Methodis y el manuscrito De Analysi per Aequationes Numero Terminorum Infinitas (1669; "Sobre el análisis por ecuaciones con un número infinito de términos"), que fue obligado a escribir después de que su serie logarítmica fuera redescubierta y publicada por Nicolaus Mercator. Newton nunca terminó el De Methodis y, a pesar del entusiasmo de los pocos a quienes permitió leer De Analysi , lo retuvo de su publicación hasta 1711. Esto, por supuesto, solo lo lastimó en su disputa de prioridad con Gottfried Wilhelm Leibniz.

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